Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (-tan(x)+sin(x))/((4*sin(x/2)^2))

Gráfico de la función y = (-tan(x)+sin(x))/((4*sin(x/2)^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -tan(x) + sin(x)
f(x) = ----------------
               2/x\    
          4*sin |-|    
                \2/
f(x)=sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} 
f = (sin(x) - tan(x))/((4*sin(x/2)^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2)=0\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−75.398223686155x_{1} = -75.398223686155
x2=47.1238898038469x_{2} = 47.1238898038469
x3=6.28318530717958x_{3} = 6.28318530717958
x4=62.8318530717958x_{4} = 62.8318530717958
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=−31.4159265358979x_{6} = -31.4159265358979
x7=9.42477796076938x_{7} = 9.42477796076938
x8=31.415926535898x_{8} = 31.415926535898
x9=−34.5575191894877x_{9} = -34.5575191894877
x10=−97.3893722612836x_{10} = -97.3893722612836
x11=87.9645943005142x_{11} = 87.9645943005142
x12=−3.14159265358979x_{12} = -3.14159265358979
x13=−87.9645943005142x_{13} = -87.9645943005142
x14=59.6902604182061x_{14} = 59.6902604182061
x15=−47.1238898038469x_{15} = -47.1238898038469
x16=100.530964914873x_{16} = 100.530964914873
x17=−40.8407044966673x_{17} = -40.8407044966673
x18=62.8318530717959x_{18} = 62.8318530717959
x19=3.14159265358979x_{19} = 3.14159265358979
x20=28.2743338823081x_{20} = 28.2743338823081
x21=−69.1150383789755x_{21} = -69.1150383789755
x22=94.2477796076938x_{22} = 94.2477796076938
x23=12.5663706143592x_{23} = 12.5663706143592
x24=97.3893722612836x_{24} = 97.3893722612836
x25=31.4159265358979x_{25} = 31.4159265358979
x26=25.1327412287183x_{26} = 25.1327412287183
x27=−37.6991118430775x_{27} = -37.6991118430775
x28=−94.2477796076938x_{28} = -94.2477796076938
x29=−59.6902604182061x_{29} = -59.6902604182061
x30=−31.4159265358979x_{30} = -31.4159265358979
x31=−56.5486677646163x_{31} = -56.5486677646163
x32=81.6814089933346x_{32} = 81.6814089933346
x33=−12.5663706143592x_{33} = -12.5663706143592
x34=21.9911485751286x_{34} = 21.9911485751286
x35=−62.8318530717959x_{35} = -62.8318530717959
x36=15.707963267949x_{36} = 15.707963267949
x37=34.5575191894877x_{37} = 34.5575191894877
x38=−91.106186954104x_{38} = -91.106186954104
x39=43.9822971502571x_{39} = 43.9822971502571
x40=40.8407044966673x_{40} = 40.8407044966673
x41=69.1150383789755x_{41} = 69.1150383789755
x42=65.9734457253857x_{42} = 65.9734457253857
x43=−72.2566310325652x_{43} = -72.2566310325652
x44=−18.8495559215388x_{44} = -18.8495559215388
x45=−21.9911485751286x_{45} = -21.9911485751286
x46=53.4070751110265x_{46} = 53.4070751110265
x47=91.106186954104x_{47} = 91.106186954104
x48=−28.2743338823081x_{48} = -28.2743338823081
x49=18.8495559215387x_{49} = 18.8495559215387
x50=56.5486677646163x_{50} = 56.5486677646163
x51=−25.1327412287184x_{51} = -25.1327412287184
x52=−53.4070751110265x_{52} = -53.4070751110265
x53=−62.8318530717959x_{53} = -62.8318530717959
x54=−18.8495559215388x_{54} = -18.8495559215388
x55=−65.9734457253857x_{55} = -65.9734457253857
x56=−15.707963267949x_{56} = -15.707963267949
x57=84.8230016469244x_{57} = 84.8230016469244
x58=72.2566310325652x_{58} = 72.2566310325652
x59=18.8495559215388x_{59} = 18.8495559215388
x60=−25.1327412287183x_{60} = -25.1327412287183
x61=−78.5398163397448x_{61} = -78.5398163397448
x62=−43.9822971502571x_{62} = -43.9822971502571
x63=−84.8230016469244x_{63} = -84.8230016469244
x64=−100.530964914873x_{64} = -100.530964914873
x65=−12.5663706143592x_{65} = -12.5663706143592
x66=75.398223686155x_{66} = 75.398223686155
x67=−6.28318530717959x_{67} = -6.28318530717959
x68=78.5398163397448x_{68} = 78.5398163397448
x69=−6.28318530717959x_{69} = -6.28318530717959
x70=−81.6814089933346x_{70} = -81.6814089933346
x71=50.2654824574367x_{71} = 50.2654824574367
x72=−50.2654824574367x_{72} = -50.2654824574367
x73=37.6991118430775x_{73} = 37.6991118430775
x74=−9.42477796076938x_{74} = -9.42477796076938
x75=25.1327412287183x_{75} = 25.1327412287183
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-tan(x) + sin(x))/((4*sin(x/2)^2)).
−tan⁡(0)+sin⁡(0)4sin⁡2(02)\frac{- \tan{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{0}{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(sin⁡(x)−tan⁡(x))cos⁡(x2)4sin⁡3(x2)+(cos⁡(x)−tan⁡2(x)−1)14sin⁡2(x2)=0- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \left(\cos{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \frac{1}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+3cos⁡2(x2)sin⁡2(x2))(sin⁡(x)−tan⁡(x))−4(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+4(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)cos⁡(x2)sin⁡(x2)−2sin⁡(x)8sin⁡2(x2)=0\frac{\left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{4 \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959

lim⁡x→0−((1+3cos⁡2(x2)sin⁡2(x2))(sin⁡(x)−tan⁡(x))−4(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+4(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)cos⁡(x2)sin⁡(x2)−2sin⁡(x)8sin⁡2(x2))=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{4 \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0
lim⁡x→0+((1+3cos⁡2(x2)sin⁡2(x2))(sin⁡(x)−tan⁡(x))−4(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+4(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)cos⁡(x2)sin⁡(x2)−2sin⁡(x)8sin⁡2(x2))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{4 \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→6.28318530717959−((1+3cos⁡2(x2)sin⁡2(x2))(sin⁡(x)−tan⁡(x))−4(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+4(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)cos⁡(x2)sin⁡(x2)−2sin⁡(x)8sin⁡2(x2))=1.22484295148965⋅1016\lim_{x \to 6.28318530717959^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{4 \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}
lim⁡x→6.28318530717959+((1+3cos⁡2(x2)sin⁡2(x2))(sin⁡(x)−tan⁡(x))−4(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+4(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1)cos⁡(x2)sin⁡(x2)−2sin⁡(x)8sin⁡2(x2))=1.22484295148965⋅1016\lim_{x \to 6.28318530717959^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{4 \left(- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} - 2 \sin{\left(x \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 1.22484295148965 \cdot 10^{16}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Convexa en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-tan(x) + sin(x))/((4*sin(x/2)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((sin⁡(x)−tan⁡(x))14sin⁡2(x2)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) \frac{1}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((sin⁡(x)−tan⁡(x))14sin⁡2(x2)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) \frac{1}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2)=−sin⁡(x)+tan⁡(x)4sin⁡2(x2)\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = \frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
sin⁡(x)−tan⁡(x)4sin⁡2(x2)=−−sin⁡(x)+tan⁡(x)4sin⁡2(x2)\frac{\sin{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{4 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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