Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(1/((-1-log(log(x)))*log(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ___________________________
          /             1             
f(x) =   /  ------------------------- 
       \/   (-1 - log(log(x)))*log(x) 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}}$$
f = sqrt(1/((-log(log(x)) - 1)*log(x)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1.44466786100977$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1/((-1 - log(log(x)))*log(x))).
$$\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(0 \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(0 \right)}}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1}{x} + \frac{1}{x}\right) \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{e^{-2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
  / -2\    
  \e  /    
(e    , E)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{e^{-2}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{e^{-2}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{e^{-2}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1.44466786100977$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1/((-1 - log(log(x)))*log(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}} = \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(- x \right)}}}$$
- No
$$\sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}} = - \sqrt{\frac{1}{\left(- \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)} - 1\right) \log{\left(- x \right)}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar