Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^(-x)*sin(2*x)

Gráfico de la función y = e^(-x)*sin(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x         
f(x) = E  *sin(2*x)
f(x)=e−xsin⁡(2x)f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} 
f = E^(-x)*sin(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−xsin⁡(2x)=0e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=42.4115008234622x_{1} = 42.4115008234622
x2=59.6902604182061x_{2} = 59.6902604182061
x3=54.9778714378214x_{3} = 54.9778714378214
x4=29.845130209103x_{4} = 29.845130209103
x5=−15.707963267949x_{5} = -15.707963267949
x6=−25.1327412287183x_{6} = -25.1327412287183
x7=84.8230016469244x_{7} = 84.8230016469244
x8=0x_{8} = 0
x9=14.1371669411541x_{9} = 14.1371669411541
x10=−17.2787595947439x_{10} = -17.2787595947439
x11=97.3893722612836x_{11} = 97.3893722612836
x12=48.6946861306418x_{12} = 48.6946861306418
x13=81.6814089933346x_{13} = 81.6814089933346
x14=50.2654824574367x_{14} = 50.2654824574367
x15=−7.85398163397448x_{15} = -7.85398163397448
x16=10.9955742875643x_{16} = 10.9955742875643
x17=98.9601685880785x_{17} = 98.9601685880785
x18=36.1283155162826x_{18} = 36.1283155162826
x19=15.707963267949x_{19} = 15.707963267949
x20=18.8495559215388x_{20} = 18.8495559215388
x21=20.4203522483337x_{21} = 20.4203522483337
x22=51.8362787842316x_{22} = 51.8362787842316
x23=−6.28318530717959x_{23} = -6.28318530717959
x24=−1.5707963267949x_{24} = -1.5707963267949
x25=12.5663706143592x_{25} = 12.5663706143592
x26=26.7035375555132x_{26} = 26.7035375555132
x27=56.5486677646163x_{27} = 56.5486677646163
x28=40.8407044966673x_{28} = 40.8407044966673
x29=92.6769832808989x_{29} = 92.6769832808989
x30=−21.9911485751286x_{30} = -21.9911485751286
x31=73.8274273593601x_{31} = 73.8274273593601
x32=6.28318530717959x_{32} = 6.28318530717959
x33=95.8185759344887x_{33} = 95.8185759344887
x34=−23.5619449019235x_{34} = -23.5619449019235
x35=72.2566310325652x_{35} = 72.2566310325652
x36=37.6991118430775x_{36} = 37.6991118430775
x37=21.9911485751286x_{37} = 21.9911485751286
x38=34.5575191894877x_{38} = 34.5575191894877
x39=80.1106126665397x_{39} = 80.1106126665397
x40=100.530964914873x_{40} = 100.530964914873
x41=58.1194640914112x_{41} = 58.1194640914112
x42=28.2743338823081x_{42} = 28.2743338823081
x43=94.2477796076938x_{43} = 94.2477796076938
x44=−14.1371669411541x_{44} = -14.1371669411541
x45=32.9867228626928x_{45} = 32.9867228626928
x46=−28.2743338823081x_{46} = -28.2743338823081
x47=7.85398163397448x_{47} = 7.85398163397448
x48=78.5398163397448x_{48} = 78.5398163397448
x49=−29.845130209103x_{49} = -29.845130209103
x50=76.9690200129499x_{50} = 76.9690200129499
x51=86.3937979737193x_{51} = 86.3937979737193
x52=43.9822971502571x_{52} = 43.9822971502571
x53=70.6858347057703x_{53} = 70.6858347057703
x54=62.8318530717959x_{54} = 62.8318530717959
x55=−3.14159265358979x_{55} = -3.14159265358979
x56=87.9645943005142x_{56} = 87.9645943005142
x57=4.71238898038469x_{57} = 4.71238898038469
x58=64.4026493985908x_{58} = 64.4026493985908
x59=−9.42477796076938x_{59} = -9.42477796076938
x60=65.9734457253857x_{60} = 65.9734457253857
x61=−31.4159265358979x_{61} = -31.4159265358979
x62=61.261056745001x_{62} = 61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)*sin(2*x).
e−0sin⁡(0⋅2)e^{- 0} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e−xsin⁡(2x)+2e−xcos⁡(2x)=0- e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} + 2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(2)2x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                   -atan(2)  
                   --------- 
              ___      2     
 atan(2)  2*\/ 5 *e          
(-------, ------------------)
    2             5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(2)2x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(2)2]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(2)2,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(2x)+4cos⁡(2x))e−x=0- \left(3 \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(43)2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(43)2]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(43)2,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(2x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(2x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−xsin⁡(2x)=−exsin⁡(2x)e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} = - e^{x} \sin{\left(2 x \right)}
- No
e−xsin⁡(2x)=exsin⁡(2x)e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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