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Resolución de integrales/ e^(-x)/ sin(2*x)/ e^(-x)*sin(2*x)

Integral de e^(-x)*sin(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |   -x            
 |  E  *sin(2*x) dx
 |                 
/                  
0
∫01e−xsin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(E^(-x)*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=−xu = - x.

    Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

    ∫eusin⁡(2u) du\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando eusin⁡(2u)e^{u} \sin{\left(2 u \right)}:

        que u(u)=sin⁡(2u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(2u) du=eusin⁡(2u)−∫2eucos⁡(2u) du\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - \int 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du.

      2. Para el integrando 2eucos⁡(2u)2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}:

        que u(u)=2cos⁡(2u)u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(2 u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(2u) du=eusin⁡(2u)−2eucos⁡(2u)+∫(−4eusin⁡(2u)) du\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫eusin⁡(2u) du=eusin⁡(2u)−2eucos⁡(2u)5 \int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}

        Por lo tanto,

        ∫eusin⁡(2u) du=eusin⁡(2u)5−2eucos⁡(2u)5\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} - \frac{2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −e−xsin⁡(2x)5−2e−xcos⁡(2x)5- \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}

  2. Ahora simplificar:

    −(sin⁡(2x)+2cos⁡(2x))e−x5- \frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(sin⁡(2x)+2cos⁡(2x))e−x5+constant- \frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(sin⁡(2x)+2cos⁡(2x))e−x5+constant- \frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                   -x    -x         
 |  -x                   2*cos(2*x)*e     e  *sin(2*x)
 | E  *sin(2*x) dx = C - -------------- - ------------
 |                             5               5      
/
∫e−xsin⁡(2x) dx=C−e−xsin⁡(2x)5−2e−xcos⁡(2x)5\int e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              -1    -1       
2   2*cos(2)*e     e  *sin(2)
- - ------------ - ----------
5        5             5
−sin⁡(2)5e−2cos⁡(2)5e+25- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{5 e} - \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{5 e} + \frac{2}{5} 
=
= 
              -1    -1       
2   2*cos(2)*e     e  *sin(2)
- - ------------ - ----------
5        5             5
−sin⁡(2)5e−2cos⁡(2)5e+25- \frac{\sin{\left(2 \right)}}{5 e} - \frac{2 \cos{\left(2 \right)}}{5 e} + \frac{2}{5} 
2/5 - 2*cos(2)*exp(-1)/5 - exp(-1)*sin(2)/5
Respuesta numérica [src] 
0.394334380421838
0.394334380421838

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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