Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((x^3-x^2-x+1)/tan(x))^(1/3)

Gráfico de la función y = ((x^3-x^2-x+1)/tan(x))^(1/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _________________
           /  3    2         
          /  x  - x  - x + 1 
f(x) = 3 /   --------------- 
       \/         tan(x)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}}$$ 
f = ((-x + x^3 - x^2 + 1)/tan(x))^(1/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^3 - x^2 - x + 1)/tan(x))^(1/3).
$$\sqrt[3]{\frac{\left(\left(0^{3} - 0^{2}\right) - 0\right) + 1}{\tan{\left(0 \right)}}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}} \left(\frac{\left(\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1\right) \left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{3 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{3 \tan{\left(x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}}$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^3 - x^2 - x + 1)/tan(x))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}} = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3} - x^{2} + x + 1}{\tan{\left(x \right)}}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\frac{\left(- x + \left(x^{3} - x^{2}\right)\right) + 1}{\tan{\left(x \right)}}} = - \sqrt[3]{- \frac{- x^{3} - x^{2} + x + 1}{\tan{\left(x \right)}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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