Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^4*log(x)^2

Gráfico de la función y = x^4*log(x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4    2   
f(x) = x *log (x)
f(x)=x4log⁡(x)2f{\left(x \right)} = x^{4} \log{\left(x \right)}^{2} 
f = x^4*log(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x4log⁡(x)2=0x^{4} \log{\left(x \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4*log(x)^2.
04log⁡(0)20^{4} \log{\left(0 \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3log⁡(x)2+2x3log⁡(x)=04 x^{3} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{3} \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=e−12x_{2} = e^{- \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)

         -2 
  -1/2  e   
(e   , ---)
         4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−12]∪[1,∞)\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2}}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[e−12,1]\left[e^{- \frac{1}{2}}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x2(6log⁡(x)2+7log⁡(x)+1)=02 x^{2} \left(6 \log{\left(x \right)}^{2} + 7 \log{\left(x \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
x2=e−16x_{2} = e^{- \frac{1}{6}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−1]∪[e−16,∞)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{- \frac{1}{6}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[e−1,e−16]\left[e^{-1}, e^{- \frac{1}{6}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x4log⁡(x)2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x4log⁡(x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4*log(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3log⁡(x)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x3log⁡(x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x4log⁡(x)2=x4log⁡(−x)2x^{4} \log{\left(x \right)}^{2} = x^{4} \log{\left(- x \right)}^{2}
- No
x4log⁡(x)2=−x4log⁡(−x)2x^{4} \log{\left(x \right)}^{2} = - x^{4} \log{\left(- x \right)}^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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