Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 4+x-sqrt(-1+2*x^2+4*x)

Gráfico de la función y = 4+x-sqrt(-1+2*x^2+4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  _________________
                 /         2       
f(x) = 4 + x - \/  -1 + 2*x  + 4*x
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}$$ 
f = x + 4 - sqrt(4*x + 2*x^2 - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{21}$$
$$x_{2} = 2 + \sqrt{21}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6.58257569495584$$
$$x_{2} = -2.58257569495584$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4 + x - sqrt(-1 + 2*x^2 + 4*x).
$$4 - \sqrt{\left(-1 + 2 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 4 - i$$
Punto:
(0, 4 - i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x + 2}{\sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{2 x^{2} + 4 x - 1} - 1\right)}{\sqrt{2 x^{2} + 4 x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4 + x - sqrt(-1 + 2*x^2 + 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}}{x}\right) = 1 + \sqrt{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \left(1 + \sqrt{2}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)}}{x}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \left(1 - \sqrt{2}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)} = - x - \sqrt{2 x^{2} - 4 x - 1} + 4$$
- No
$$\left(x + 4\right) - \sqrt{4 x + \left(2 x^{2} - 1\right)} = x + \sqrt{2 x^{2} - 4 x - 1} - 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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