Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 10*sqrt(30)/tanh(x*sqrt(30)/30)

Gráfico de la función y = 10*sqrt(30)/tanh(x*sqrt(30)/30)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              ____   
         10*\/ 30    
f(x) = --------------
           /    ____\
           |x*\/ 30 |
       tanh|--------|
           \   30   /
f(x)=1030tanh⁡(30x30)f{\left(x \right)} = \frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} 
f = (10*sqrt(30))/tanh((sqrt(30)*x)/30)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1030tanh⁡(30x30)=0\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (10*sqrt(30))/tanh((x*sqrt(30))/30).
1030tanh⁡(03030)\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{0 \sqrt{30}}{30} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−10(1−tanh⁡2(30x30))tanh⁡2(30x30)=0- \frac{10 \left(1 - \tanh^{2}{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}\right)}{\tanh^{2}{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
230(tanh⁡2(30x30)−1tanh⁡2(30x30)−1)(tanh⁡2(30x30)−1)3tanh⁡(30x30)=0\frac{2 \sqrt{30} \left(\frac{\tanh^{2}{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)} - 1}{\tanh^{2}{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} - 1\right) \left(\tanh^{2}{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)} - 1\right)}{3 \tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1030tanh⁡(30x30))=−1030\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}\right) = - 10 \sqrt{30}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1030y = - 10 \sqrt{30}
lim⁡x→∞(1030tanh⁡(30x30))=1030\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}\right) = 10 \sqrt{30}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1030y = 10 \sqrt{30}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (10*sqrt(30))/tanh((x*sqrt(30))/30), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1030xtanh⁡(30x30))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 \sqrt{30}}{x \tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1030xtanh⁡(30x30))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 \sqrt{30}}{x \tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1030tanh⁡(30x30)=−1030tanh⁡(30x30)\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} = - \frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}
- No
1030tanh⁡(30x30)=1030tanh⁡(30x30)\frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}} = \frac{10 \sqrt{30}}{\tanh{\left(\frac{\sqrt{30} x}{30} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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