Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^e^cosx

Gráfico de la función y = x^e^cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        / cos(x)\
        \E      /
f(x) = x
f(x)=xecos⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} 
f = x^(E^cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(E^cos(x)).
0ecos⁡(0)0^{e^{\cos{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xecos⁡(x)(−ecos⁡(x)log⁡(x)sin⁡(x)+ecos⁡(x)x)=0x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} \left(- e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=15.684799872504x_{1} = 15.684799872504
x2=43.9883050544979x_{2} = 43.9883050544979
x3=97.3871296336339x_{3} = 97.3871296336339
x4=2.78284371560688x_{4} = 2.78284371560688
x5=94.2501135690622x_{5} = 94.2501135690622
x6=40.8341026914864x_{6} = 40.8341026914864
x7=65.9698272571232x_{7} = 65.9698272571232
x8=50.2705604030492x_{8} = 50.2705604030492
x9=87.9671334980964x_{9} = 87.9671334980964
x10=6.36811003480745x_{10} = 6.36811003480745
x11=91.1037542171147x_{11} = 91.1037542171147
x12=78.5368983412268x_{12} = 78.5368983412268
x13=6.94876945975633⋅10−9x_{13} = 6.94876945975633 \cdot 10^{-9}
x14=34.549348310844x_{14} = 34.549348310844
x15=9.37711485631863x_{15} = 9.37711485631863
x16=21.9764219093651x_{16} = 21.9764219093651
x17=72.2533974755999x_{17} = 72.2533974755999
x18=59.6861630990041x_{18} = 59.6861630990041
x19=84.820346643255x_{19} = 84.820346643255
x20=53.4023675914474x_{20} = 53.4023675914474
x21=47.1183810826385x_{21} = 47.1183810826385
x22=28.26374557472x_{22} = 28.26374557472
Signos de extremos en los puntos:
(15.684799872504044, 2.75365884575826)

(43.98830505449787, 29307.1176268162)

(97.38712963363389, 5.38927921062117)

(2.7828437156068766, 1.4937121368228)

(94.25011356906218, 232616.195021851)

(40.83410269148642, 3.91448976982649)

(65.96982725712323, 4.66986290706517)

(50.270560403049224, 42129.9131325553)

(87.96713349809642, 192838.561530899)

(6.3681100348074535, 150.544524396573)

(91.10375421711466, 5.25866181876951)

(78.53689834122677, 4.97922370541001)

(6.948769459756333e-09, 6.66816747060758e-23)

(34.549348310844, 3.68111418264297)

(9.377114856318626, 2.2803979324248)

(21.976421909365072, 3.11696496312642)

(72.25339747559988, 4.82880110869503)

(59.68616309900408, 4.50104022337213)

(84.82034664325502, 5.12221753588034)

(53.40236759144743, 4.32056991941297)

(47.118381082638514, 4.12611828833728)

(28.263745574719998, 3.41906615703647)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=15.684799872504x_{1} = 15.684799872504
x2=97.3871296336339x_{2} = 97.3871296336339
x3=2.78284371560688x_{3} = 2.78284371560688
x4=40.8341026914864x_{4} = 40.8341026914864
x5=65.9698272571232x_{5} = 65.9698272571232
x6=91.1037542171147x_{6} = 91.1037542171147
x7=78.5368983412268x_{7} = 78.5368983412268
x8=34.549348310844x_{8} = 34.549348310844
x9=9.37711485631863x_{9} = 9.37711485631863
x10=21.9764219093651x_{10} = 21.9764219093651
x11=72.2533974755999x_{11} = 72.2533974755999
x12=59.6861630990041x_{12} = 59.6861630990041
x13=84.820346643255x_{13} = 84.820346643255
x14=53.4023675914474x_{14} = 53.4023675914474
x15=47.1183810826385x_{15} = 47.1183810826385
x16=28.26374557472x_{16} = 28.26374557472
Puntos máximos de la función:
x16=43.9883050544979x_{16} = 43.9883050544979
x16=94.2501135690622x_{16} = 94.2501135690622
x16=50.2705604030492x_{16} = 50.2705604030492
x16=87.9671334980964x_{16} = 87.9671334980964
x16=6.36811003480745x_{16} = 6.36811003480745
Decrece en los intervalos
[97.3871296336339,∞)\left[97.3871296336339, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.78284371560688]\left(-\infty, 2.78284371560688\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xecos⁡(x)((log⁡(x)sin⁡(x)−1x)2ecos⁡(x)+log⁡(x)sin⁡2(x)−log⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)x−1x2)ecos⁡(x)=0x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} \left(\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)^{2} e^{\cos{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) e^{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=100.258320758863x_{1} = 100.258320758863
x2=12.2359780667459x_{2} = 12.2359780667459
x3=88.2457602111359x_{3} = 88.2457602111359
x4=44.2897268795171x_{4} = 44.2897268795171
x5=5.95489665717887x_{5} = 5.95489665717887
x6=93.9734798234227x_{6} = 93.9734798234227
x7=81.9650117940731x_{7} = 81.9650117940731
x8=56.2605039385462x_{8} = 56.2605039385462
x9=38.0137039255143x_{9} = 38.0137039255143
x10=2.16367963266491x_{10} = 2.16367963266491
x11=49.9739430715745x_{11} = 49.9739430715745

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[88.2457602111359,∞)\left[88.2457602111359, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2.16367963266491]\left(-\infty, 2.16367963266491\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xecos⁡(x)=(−∞)⟨e−1,e⟩\lim_{x \to -\infty} x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} = \left(-\infty\right)^{\left\langle e^{-1}, e\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)⟨e−1,e⟩y = \left(-\infty\right)^{\left\langle e^{-1}, e\right\rangle}
lim⁡x→∞xecos⁡(x)=∞⟨e−1,e⟩\lim_{x \to \infty} x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} = \infty^{\left\langle e^{-1}, e\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞⟨e−1,e⟩y = \infty^{\left\langle e^{-1}, e\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(E^cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xecos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{e^{\cos{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(xecos⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{e^{\cos{\left(x \right)}}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xecos⁡(x)=(−x)ecos⁡(x)x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} = \left(- x\right)^{e^{\cos{\left(x \right)}}}
- No
xecos⁡(x)=−(−x)ecos⁡(x)x^{e^{\cos{\left(x \right)}}} = - \left(- x\right)^{e^{\cos{\left(x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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