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Trazado el gráfico de la función/ (2*x^2+6*x+5)*atan((x+1)/(x+2))-x

Gráfico de la función y = (2*x^2+6*x+5)*atan((x+1)/(x+2))-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /   2          \     /x + 1\    
f(x) = \2*x  + 6*x + 5/*atan|-----| - x
                            \x + 2/
f(x)=−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)f{\left(x \right)} = - x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} 
f = -x + (2*x^2 + 6*x + 5)*atan((x + 1)/(x + 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)=0- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^2 + 6*x + 5)*atan((x + 1)/(x + 2)) - x.
−0+((2⋅02+0⋅6)+5)atan⁡(12)- 0 + \left(\left(2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=5atan⁡(12)f{\left(0 \right)} = 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Punto:
(0, 5*atan(1/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4x+6)atan⁡(x+1x+2)+(−x+1(x+2)2+1x+2)((2x2+6x)+5)(x+1)2(x+2)2+1−1=0\left(4 x + 6\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} + \frac{\left(- \frac{x + 1}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right) \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right)}{\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
x2=−1x_{2} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       3   pi 
(-3/2, - - --)
       2   8  

(-1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−32]∪[−1,∞)\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−32,−1]\left[- \frac{3}{2}, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(x+1)(2x(x+3)+5)(x+1x+2−1)2(x+2)3((x+1)2(x+2)2+1)2+2atan⁡(x+1x+2)−2(2x+3)(x+1x+2−1)(x+2)((x+1)2(x+2)2+1)+(2x(x+3)+5)(x+1x+2−1)(x+2)2((x+1)2(x+2)2+1))=02 \left(- \frac{\left(x + 1\right) \left(2 x \left(x + 3\right) + 5\right) \left(\frac{x + 1}{x + 2} - 1\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{3} \left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)^{2}} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} - \frac{2 \left(2 x + 3\right) \left(\frac{x + 1}{x + 2} - 1\right)}{\left(x + 2\right) \left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)} + \frac{\left(2 x \left(x + 3\right) + 5\right) \left(\frac{x + 1}{x + 2} - 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2} \left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 + 6*x + 5)*atan((x + 1)/(x + 2)) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)=x+(2x2−6x+5)atan⁡(1−x2−x)- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} = x + \left(2 x^{2} - 6 x + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{2 - x} \right)}
- No
−x+((2x2+6x)+5)atan⁡(x+1x+2)=−x−(2x2−6x+5)atan⁡(1−x2−x)- x + \left(\left(2 x^{2} + 6 x\right) + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{x + 2} \right)} = - x - \left(2 x^{2} - 6 x + 5\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - x}{2 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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