Sr Examen

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y=x/3^sqrt^2(x-2)
Trazado el gráfico de la función/ y=x/3^sqrt^2(x-2)

Gráfico de la función y = y=x/3^sqrt^2(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             x      
f(x) = -------------
        /         2\
        |  _______ |
        \\/ x - 2  /
       3
f(x)=x3(x−2)2f{\left(x \right)} = \frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}} 
f = x/3^((sqrt(x - 2))^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x−2)2=0\frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=119.456182111128x_{1} = 119.456182111128
x2=95.5022416936633x_{2} = 95.5022416936633
x3=43.8454836216248x_{3} = 43.8454836216248
x4=105.480181064576x_{4} = 105.480181064576
x5=73.5760340327249x_{5} = 73.5760340327249
x6=63.6305050508079x_{6} = 63.6305050508079
x7=79.5511307388945x_{7} = 79.5511307388945
x8=61.6440620785768x_{8} = 61.6440620785768
x9=97.4974171742322x_{9} = 97.4974171742322
x10=101.48841442314x_{10} = 101.48841442314
x11=36.0399574129987x_{11} = 36.0399574129987
x12=55.692310784084x_{12} = 55.692310784084
x13=85.5303013908349x_{13} = 85.5303013908349
x14=59.6587733047646x_{14} = 59.6587733047646
x15=69.5955353408358x_{15} = 69.5955353408358
x16=93.507302840911x_{16} = 93.507302840911
x17=71.5854553866931x_{17} = 71.5854553866931
x18=115.462377722886x_{18} = 115.462377722886
x19=67.6063459940596x_{19} = 67.6063459940596
x20=83.5368555706765x_{20} = 83.5368555706765
x21=113.465658259293x_{21} = 113.465658259293
x22=99.4928130183687x_{22} = 99.4928130183687
x23=30.3194520793373x_{23} = 30.3194520793373
x24=91.5126185270965x_{24} = 91.5126185270965
x25=117.459221316189x_{25} = 117.459221316189
x26=57.6747944176957x_{26} = 57.6747944176957
x27=32.20413098631x_{27} = 32.20413098631
x28=103.484207885973x_{28} = 103.484207885973
x29=89.51820852489x_{29} = 89.51820852489
x30=49.7563063482934x_{30} = 49.7563063482934
x31=34.1134417707532x_{31} = 34.1134417707532
x32=65.6179704559296x_{32} = 65.6179704559296
x33=41.8836307214122x_{33} = 41.8836307214122
x34=109.472622282603x_{34} = 109.472622282603
x35=45.8120806381933x_{35} = 45.8120806381933
x36=77.5589234680236x_{36} = 77.5589234680236
x37=81.5437874257798x_{37} = 81.5437874257798
x38=111.46907041179x_{38} = 111.46907041179
x39=53.7115449725784x_{39} = 53.7115449725784
x40=107.476322654616x_{40} = 107.476322654616
x41=87.5240947178058x_{41} = 87.5240947178058
x42=37.9790465327774x_{42} = 37.9790465327774
x43=0x_{43} = 0
x44=51.73276672197x_{44} = 51.73276672197
x45=39.9276446546999x_{45} = 39.9276446546999
x46=47.7825730831791x_{46} = 47.7825730831791
x47=75.5672084158036x_{47} = 75.5672084158036
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/3^((sqrt(x - 2))^2).
03(−2)2\frac{0}{3^{\left(\sqrt{-2}\right)^{2}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−34−2x3(x−2)2xlog⁡(3)+13(x−2)2=0- 3^{4 - 2 x} 3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}} x \log{\left(3 \right)} + \frac{1}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1log⁡(3)x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                1    
          2 - ------ 
              log(3) 
   1     3           
(------, -----------)
 log(3)     log(3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1log⁡(3)x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}
Decrece en los intervalos
(−∞,1log⁡(3)]\left(-\infty, \frac{1}{\log{\left(3 \right)}}\right]
Crece en los intervalos
[1log⁡(3),∞)\left[\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9⋅3−x(xlog⁡(3)−2)log⁡(3)=09 \cdot 3^{- x} \left(x \log{\left(3 \right)} - 2\right) \log{\left(3 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2log⁡(3)x_{1} = \frac{2}{\log{\left(3 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2log⁡(3),∞)\left[\frac{2}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2log⁡(3)]\left(-\infty, \frac{2}{\log{\left(3 \right)}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x−2)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3(x−2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/3^((sqrt(x - 2))^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞32−x=∞\lim_{x \to -\infty} 3^{2 - x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞32−x=0\lim_{x \to \infty} 3^{2 - x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x−2)2=−3x+2x\frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}} = - 3^{x + 2} x
- No
x3(x−2)2=3x+2x\frac{x}{3^{\left(\sqrt{x - 2}\right)^{2}}} = 3^{x + 2} x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x/3^sqrt^2(x-2)
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