Sr Examen

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(tg(x)*1/(2x-1))/(x*(x-3))
Trazado el gráfico de la función/ (tg(x)*1/(2x-1))/(x*(x-3))

Gráfico de la función y = (tg(x)*1/(2x-1))/(x*(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       / tan(x)\
       |-------|
       \2*x - 1/
f(x) = ---------
       x*(x - 3)
f(x)=12x−1tan⁡(x)x(x−3)f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)} 
f = (tan(x)/(2*x - 1))/((x*(x - 3)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=0.5x_{2} = 0.5
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12x−1tan⁡(x)x(x−3)=0\frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=87.9645943005142x_{4} = 87.9645943005142
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=31.4159265358979x_{6} = 31.4159265358979
x7=69.1150383789755x_{7} = 69.1150383789755
x8=−37.6991118430775x_{8} = -37.6991118430775
x9=−81.6814089933346x_{9} = -81.6814089933346
x10=−84.8230016469244x_{10} = -84.8230016469244
x11=−21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=47.1238898038469x_{12} = 47.1238898038469
x13=−15.707963267949x_{13} = -15.707963267949
x14=−12.5663706143592x_{14} = -12.5663706143592
x15=12.5663706143592x_{15} = 12.5663706143592
x16=−87.9645943005142x_{16} = -87.9645943005142
x17=53.4070751110265x_{17} = 53.4070751110265
x18=72.2566310325652x_{18} = 72.2566310325652
x19=−100.530964914873x_{19} = -100.530964914873
x20=−3.14159265358979x_{20} = -3.14159265358979
x21=34.5575191894877x_{21} = 34.5575191894877
x22=−94.2477796076938x_{22} = -94.2477796076938
x23=6.28318530717959x_{23} = 6.28318530717959
x24=−69.1150383789755x_{24} = -69.1150383789755
x25=65.9734457253857x_{25} = 65.9734457253857
x26=97.3893722612836x_{26} = 97.3893722612836
x27=15.707963267949x_{27} = 15.707963267949
x28=−50.2654824574367x_{28} = -50.2654824574367
x29=−25.1327412287183x_{29} = -25.1327412287183
x30=−18.8495559215388x_{30} = -18.8495559215388
x31=40.8407044966673x_{31} = 40.8407044966673
x32=18.8495559215388x_{32} = 18.8495559215388
x33=−78.5398163397448x_{33} = -78.5398163397448
x34=−53.4070751110265x_{34} = -53.4070751110265
x35=37.6991118430775x_{35} = 37.6991118430775
x36=−43.9822971502571x_{36} = -43.9822971502571
x37=−6.28318530717959x_{37} = -6.28318530717959
x38=−40.8407044966673x_{38} = -40.8407044966673
x39=43.9822971502571x_{39} = 43.9822971502571
x40=56.5486677646163x_{40} = 56.5486677646163
x41=−65.9734457253857x_{41} = -65.9734457253857
x42=25.1327412287183x_{42} = 25.1327412287183
x43=78.5398163397448x_{43} = 78.5398163397448
x44=−28.2743338823081x_{44} = -28.2743338823081
x45=75.398223686155x_{45} = 75.398223686155
x46=59.6902604182061x_{46} = 59.6902604182061
x47=−34.5575191894877x_{47} = -34.5575191894877
x48=81.6814089933346x_{48} = 81.6814089933346
x49=−47.1238898038469x_{49} = -47.1238898038469
x50=100.530964914873x_{50} = 100.530964914873
x51=−9.42477796076938x_{51} = -9.42477796076938
x52=−75.398223686155x_{52} = -75.398223686155
x53=−72.2566310325652x_{53} = -72.2566310325652
x54=−31.4159265358979x_{54} = -31.4159265358979
x55=28.2743338823081x_{55} = 28.2743338823081
x56=−91.106186954104x_{56} = -91.106186954104
x57=21.9911485751286x_{57} = 21.9911485751286
x58=62.8318530717959x_{58} = 62.8318530717959
x59=9.42477796076938x_{59} = 9.42477796076938
x60=50.2654824574367x_{60} = 50.2654824574367
x61=94.2477796076938x_{61} = 94.2477796076938
x62=91.106186954104x_{62} = 91.106186954104
x63=84.8230016469244x_{63} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (tan(x)/(2*x - 1))/((x*(x - 3))).
1−1+0⋅2tan⁡(0)(−3)0\frac{\frac{1}{-1 + 0 \cdot 2} \tan{\left(0 \right)}}{\left(-3\right) 0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x−3)(tan⁡2(x)+12x−1−2tan⁡(x)(2x−1)2)+(3−2x)tan⁡(x)x2(x−3)2(2x−1)=0\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 x - 1} - \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) + \frac{\left(3 - 2 x\right) \tan{\left(x \right)}}{x^{2} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.71065611258091x_{1} = 2.71065611258091
x2=22577.996612614x_{2} = 22577.996612614
Signos de extremos en los puntos:
(2.7106561125809074, 0.13258261333629)

(22577.99661261396, -3.16653464692178e-14)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2.71065611258091x_{1} = 2.71065611258091
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2.71065611258091,∞)\left[2.71065611258091, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.71065611258091]\left(-\infty, 2.71065611258091\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=0.5x_{2} = 0.5
x3=3x_{3} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(12x−1tan⁡(x)x(x−3))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(12x−1tan⁡(x)x(x−3))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (tan(x)/(2*x - 1))/((x*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1x(x−3)tan⁡(x)x(2x−1))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \tan{\left(x \right)}}{x \left(2 x - 1\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1x(x−3)tan⁡(x)x(2x−1))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x \left(x - 3\right)} \tan{\left(x \right)}}{x \left(2 x - 1\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
12x−1tan⁡(x)x(x−3)=tan⁡(x)x(−2x−1)(−x−3)\frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{x \left(- 2 x - 1\right) \left(- x - 3\right)}
- No
12x−1tan⁡(x)x(x−3)=−tan⁡(x)x(−2x−1)(−x−3)\frac{\frac{1}{2 x - 1} \tan{\left(x \right)}}{x \left(x - 3\right)} = - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x \left(- 2 x - 1\right) \left(- x - 3\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (tg(x)*1/(2x-1))/(x*(x-3))
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