Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tg^2*x/(1+cosx)

Gráfico de la función y = tg^2*x/(1+cosx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2     
        tan (x)  
f(x) = ----------
       1 + cos(x)
f(x)=tan⁡2(x)cos⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} 
f = tan(x)^2/(cos(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3.14159265358979x_{1} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡2(x)cos⁡(x)+1=0\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−56.5486674686794x_{1} = -56.5486674686794
x2=62.8318526985726x_{2} = 62.8318526985726
x3=−75.3982239232228x_{3} = -75.3982239232228
x4=−100.530964275103x_{4} = -100.530964275103
x5=37.6991120442398x_{5} = 37.6991120442398
x6=56.5486675695683x_{6} = 56.5486675695683
x7=−18.8495544706379x_{7} = -18.8495544706379
x8=12.5663704058028x_{8} = 12.5663704058028
x9=12.5663701786553x_{9} = 12.5663701786553
x10=−81.681409039085x_{10} = -81.681409039085
x11=25.1327427789874x_{11} = 25.1327427789874
x12=94.2477796093518x_{12} = 94.2477796093518
x13=−56.5486672305838x_{13} = -56.5486672305838
x14=100.530964732889x_{14} = 100.530964732889
x15=−62.8318517122106x_{15} = -62.8318517122106
x16=−31.4159267584473x_{16} = -31.4159267584473
x17=−50.2654822494279x_{17} = -50.2654822494279
x18=−6.28318508460751x_{18} = -6.28318508460751
x19=75.3982243168224x_{19} = 75.3982243168224
x20=18.8495553963122x_{20} = 18.8495553963122
x21=43.9822981436805x_{21} = 43.9822981436805
x22=50.2654824463076x_{22} = 50.2654824463076
x23=43.9822971696108x_{23} = 43.9822971696108
x24=81.6814092465931x_{24} = 81.6814092465931
x25=−18.849557335753x_{25} = -18.849557335753
x26=−75.3982227541863x_{26} = -75.3982227541863
x27=−87.9645957501641x_{27} = -87.9645957501641
x28=87.9645943364787x_{28} = 87.9645943364787
x29=31.4159271324576x_{29} = 31.4159271324576
x30=−25.1327417835141x_{30} = -25.1327417835141
x31=−43.9822971743849x_{31} = -43.9822971743849
x32=−12.5663700499606x_{32} = -12.5663700499606
x33=−87.9645943580011x_{33} = -87.9645943580011
x34=6.28318528404309x_{34} = 6.28318528404309
x35=37.6991120807162x_{35} = 37.6991120807162
x36=0x_{36} = 0
x37=25.1327399026681x_{37} = 25.1327399026681
x38=125.663705199087x_{38} = 125.663705199087
x39=−37.6991118776952x_{39} = -37.6991118776952
x40=−94.2477794137943x_{40} = -94.2477794137943
x41=−31.4159271456979x_{41} = -31.4159271456979
x42=−69.1150389650823x_{42} = -69.1150389650823
x43=62.8318525745282x_{43} = 62.8318525745282
x44=−100.530964409549x_{44} = -100.530964409549
x45=69.1150371341985x_{45} = 69.1150371341985
x46=−62.83185458186x_{46} = -62.83185458186
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)^2/(1 + cos(x)).
tan⁡2(0)1+cos⁡(0)\frac{\tan^{2}{\left(0 \right)}}{1 + \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)cos⁡(x)+1+sin⁡(x)tan⁡2(x)(cos⁡(x)+1)2=0\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan⁡2(x)+1)(3tan⁡2(x)+1)+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)+1)tan⁡2(x)cos⁡(x)+1+4(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)tan⁡(x)cos⁡(x)+1cos⁡(x)+1=0\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3.14159265358979x_{1} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡2(x)cos⁡(x)+1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡2(x)cos⁡(x)+1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^2/(1 + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡2(x)x(cos⁡(x)+1))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡2(x)x(cos⁡(x)+1))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡2(x)cos⁡(x)+1=tan⁡2(x)cos⁡(x)+1\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}
- Sí
tan⁡2(x)cos⁡(x)+1=−tan⁡2(x)cos⁡(x)+1\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
es
par
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