Sr Examen

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Gráfico de la función y = log(6*x)/(x+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       log(6*x)
f(x) = --------
        x + 6  
f(x)=log(6x)x+6f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}
f = log(6*x)/(x + 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=6x_{1} = -6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log(6x)x+6=0\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=16x_{1} = \frac{1}{6}
Solución numérica
x1=0.166666666666667x_{1} = 0.166666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(6*x)/(x + 6).
log(06)6\frac{\log{\left(0 \cdot 6 \right)}}{6}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log(6x)(x+6)2+1x(x+6)=0- \frac{\log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e1+W(36e)6x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}
Signos de extremos en los puntos:
       /    -1\                     
  1 + W\36*e  /         /    -1\    
 e                 1 + W\36*e  /    
(--------------, ------------------)
       6                   /    -1\ 
                      1 + W\36*e  / 
                     e              
                 6 + -------------- 
                           6        


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e1+W(36e)6x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}
Decrece en los intervalos
(,e1+W(36e)6]\left(-\infty, \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}\right]
Crece en los intervalos
[e1+W(36e)6,)\left[\frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log(6x)(x+6)22x(x+6)1x2x+6=0\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=46676.4702816404x_{1} = 46676.4702816404
x2=47716.5183302058x_{2} = 47716.5183302058
x3=52912.8246738068x_{3} = 52912.8246738068
x4=43554.9383137055x_{4} = 43554.9383137055
x5=40431.7067631467x_{5} = 40431.7067631467
x6=44595.665429855x_{6} = 44595.665429855
x7=38348.9767867252x_{7} = 38348.9767867252
x8=48756.3145754334x_{8} = 48756.3145754334
x9=39390.3744480501x_{9} = 39390.3744480501
x10=41472.9331284706x_{10} = 41472.9331284706
x11=25882.0101643839x_{11} = 25882.0101643839
x12=31063.0528403066x_{12} = 31063.0528403066
x13=45636.1815004787x_{13} = 45636.1815004787
x14=49795.8499616273x_{14} = 49795.8499616273
x15=6.69656678575869x_{15} = 6.69656678575869
x16=36266.1905436718x_{16} = 36266.1905436718
x17=30024.098021514x_{17} = 30024.098021514
x18=26914.6814181565x_{18} = 26914.6814181565
x19=50835.1171488098x_{19} = 50835.1171488098
x20=34183.871705079x_{20} = 34183.871705079
x21=54989.4041088202x_{21} = 54989.4041088202
x22=51874.1102610085x_{22} = 51874.1102610085
x23=27949.5664707624x_{23} = 27949.5664707624
x24=32102.7899925164x_{24} = 32102.7899925164
x25=58102.1214499038x_{25} = 58102.1214499038
x26=35224.9316224061x_{26} = 35224.9316224061
x27=33143.1152657172x_{27} = 33143.1152657172
x28=56027.2646514781x_{28} = 56027.2646514781
x29=53951.2568344188x_{29} = 53951.2568344188
x30=42514.0197126849x_{30} = 42514.0197126849
x31=57064.8372940295x_{31} = 57064.8372940295
x32=28986.1676948273x_{32} = 28986.1676948273
x33=37307.5625704563x_{33} = 37307.5625704563
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=6x_{1} = -6

limx6(2log(6x)(x+6)22x(x+6)1x2x+6)=sign(7.16703787691222+2iπ)\lim_{x \to -6^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}
limx6+(2log(6x)(x+6)22x(x+6)1x2x+6)=sign(7.16703787691222+2iπ)\lim_{x \to -6^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=6x_{1} = -6
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[6.69656678575869,)\left[6.69656678575869, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,6.69656678575869]\left(-\infty, 6.69656678575869\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=6x_{1} = -6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(log(6x)x+6)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(log(6x)x+6)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(6*x)/(x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(log(6x)x(x+6))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(log(6x)x(x+6))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(6x)x+6=log(6x)6x\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}
- No
log(6x)x+6=log(6x)6x\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = - \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar