Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
y=2x^2+x+1
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
Expresiones idénticas
- log(seis *x)/(x+ seis)
- logaritmo de (6 multiplicar por x) dividir por (x más 6)
- logaritmo de (seis multiplicar por x) dividir por (x más seis)
- log(6x)/(x+6)
- log6x/x+6
- log(6*x) dividir por (x+6)
-
Expresiones semejantes
- log(6*x)/(x-6)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x/(x^2+1))
- log(x)/x-1
- log(x)-x^3
- log(x^2-5*x+6)+3
- log(x)*sin(log(x))-cos(log(x))*log(cos(log(x))^(-2))/2+cos(log(x))+sin(log(x))
Gráfico de la función y = log(6*x)/(x+6)
Solución
Ha introducido
[src]
log(6*x)
f(x) = --------
x + 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}$$
f = log(6*x)/(x + 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{1} = -6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.166666666666667$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.166666666666667$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 6\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 6\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ -1\
1 + W\36*e / / -1\
e 1 + W\36*e /
(--------------, ------------------)
6 / -1\
1 + W\36*e /
e
6 + --------------
6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{e^{1 + W\left(\frac{36}{e}\right)}}{6}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 46676.4702816404$$
$$x_{2} = 47716.5183302058$$
$$x_{3} = 52912.8246738068$$
$$x_{4} = 43554.9383137055$$
$$x_{5} = 40431.7067631467$$
$$x_{6} = 44595.665429855$$
$$x_{7} = 38348.9767867252$$
$$x_{8} = 48756.3145754334$$
$$x_{9} = 39390.3744480501$$
$$x_{10} = 41472.9331284706$$
$$x_{11} = 25882.0101643839$$
$$x_{12} = 31063.0528403066$$
$$x_{13} = 45636.1815004787$$
$$x_{14} = 49795.8499616273$$
$$x_{15} = 6.69656678575869$$
$$x_{16} = 36266.1905436718$$
$$x_{17} = 30024.098021514$$
$$x_{18} = 26914.6814181565$$
$$x_{19} = 50835.1171488098$$
$$x_{20} = 34183.871705079$$
$$x_{21} = 54989.4041088202$$
$$x_{22} = 51874.1102610085$$
$$x_{23} = 27949.5664707624$$
$$x_{24} = 32102.7899925164$$
$$x_{25} = 58102.1214499038$$
$$x_{26} = 35224.9316224061$$
$$x_{27} = 33143.1152657172$$
$$x_{28} = 56027.2646514781$$
$$x_{29} = 53951.2568344188$$
$$x_{30} = 42514.0197126849$$
$$x_{31} = 57064.8372940295$$
$$x_{32} = 28986.1676948273$$
$$x_{33} = 37307.5625704563$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -6$$
$$\lim_{x \to -6^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -6^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[6.69656678575869, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 6.69656678575869\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 46676.4702816404$$
$$x_{2} = 47716.5183302058$$
$$x_{3} = 52912.8246738068$$
$$x_{4} = 43554.9383137055$$
$$x_{5} = 40431.7067631467$$
$$x_{6} = 44595.665429855$$
$$x_{7} = 38348.9767867252$$
$$x_{8} = 48756.3145754334$$
$$x_{9} = 39390.3744480501$$
$$x_{10} = 41472.9331284706$$
$$x_{11} = 25882.0101643839$$
$$x_{12} = 31063.0528403066$$
$$x_{13} = 45636.1815004787$$
$$x_{14} = 49795.8499616273$$
$$x_{15} = 6.69656678575869$$
$$x_{16} = 36266.1905436718$$
$$x_{17} = 30024.098021514$$
$$x_{18} = 26914.6814181565$$
$$x_{19} = 50835.1171488098$$
$$x_{20} = 34183.871705079$$
$$x_{21} = 54989.4041088202$$
$$x_{22} = 51874.1102610085$$
$$x_{23} = 27949.5664707624$$
$$x_{24} = 32102.7899925164$$
$$x_{25} = 58102.1214499038$$
$$x_{26} = 35224.9316224061$$
$$x_{27} = 33143.1152657172$$
$$x_{28} = 56027.2646514781$$
$$x_{29} = 53951.2568344188$$
$$x_{30} = 42514.0197126849$$
$$x_{31} = 57064.8372940295$$
$$x_{32} = 28986.1676948273$$
$$x_{33} = 37307.5625704563$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -6$$
$$\lim_{x \to -6^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -6^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(6 x \right)}}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 6\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 6}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(7.16703787691222 + 2 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[6.69656678575869, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 6.69656678575869\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{1} = -6$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(6*x)/(x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x \left(x + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = - \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(6 x \right)}}{x + 6} = - \frac{\log{\left(- 6 x \right)}}{6 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar