Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=−6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: x+6log(6x)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en log(6*x)/(x + 6). 6log(0⋅6) Resultado: f(0)=∞~ signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −(x+6)2log(6x)+x(x+6)1=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=6e1+W(e36) Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: La función no tiene puntos mínimos Puntos máximos de la función: x1=6e1+W(e36) Decrece en los intervalos (−∞,6e1+W(e36)] Crece en los intervalos [6e1+W(e36),∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada x+6(x+6)22log(6x)−x(x+6)2−x21=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=46676.4702816404 x2=47716.5183302058 x3=52912.8246738068 x4=43554.9383137055 x5=40431.7067631467 x6=44595.665429855 x7=38348.9767867252 x8=48756.3145754334 x9=39390.3744480501 x10=41472.9331284706 x11=25882.0101643839 x12=31063.0528403066 x13=45636.1815004787 x14=49795.8499616273 x15=6.69656678575869 x16=36266.1905436718 x17=30024.098021514 x18=26914.6814181565 x19=50835.1171488098 x20=34183.871705079 x21=54989.4041088202 x22=51874.1102610085 x23=27949.5664707624 x24=32102.7899925164 x25=58102.1214499038 x26=35224.9316224061 x27=33143.1152657172 x28=56027.2646514781 x29=53951.2568344188 x30=42514.0197126849 x31=57064.8372940295 x32=28986.1676948273 x33=37307.5625704563 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=−6
x→−6−limx+6(x+6)22log(6x)−x(x+6)2−x21=−∞sign(7.16703787691222+2iπ) x→−6+limx+6(x+6)22log(6x)−x(x+6)2−x21=∞sign(7.16703787691222+2iπ) - los límites no son iguales, signo x1=−6 - es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [6.69656678575869,∞) Convexa en los intervalos (−∞,6.69656678575869]
Asíntotas verticales
Hay: x1=−6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(x+6log(6x))=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim(x+6log(6x))=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(6*x)/(x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(x+6)log(6x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(x(x+6)log(6x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: x+6log(6x)=6−xlog(−6x) - No x+6log(6x)=−6−xlog(−6x) - No es decir, función no es par ni impar