|x-1|+|x+1|<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right) + \left(x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 2$$

2.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) + \left(x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) + \left(- x - 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -2$$


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 1}\right| < 4$$
$$\left|{- \frac{21}{10} + 1}\right| + \left|{- \frac{21}{10} - 1}\right| < 4$$

21/5 < 4

pero

21/5 > 4

Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1