Se da la desigualdad:
$$\frac{\frac{\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(x + 5 \right)}} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\frac{\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(x + 5 \right)}} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\frac{\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \log{\left(x + 4 \right)}}{\log{\left(x + 5 \right)}} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}} \leq 0$$
$$\frac{\frac{\left(\left(\frac{\left(-31\right) 7}{10} + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right) + 12\right) \log{\left(- \frac{31}{10} + 4 \right)}}{\log{\left(- \frac{31}{10} + 5 \right)}} \log{\left(- \frac{31}{10} + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(5 \right)}} \leq 0$$
2
/ /21\\
-9*|pi*I + log|--|| *log(9/10)
\ \10//
------------------------------ <= 0
/19\
100*log(5)*log|--|
\10/
Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq 0$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2