sin(-5x)<=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(- 5 x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(- 5 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(- 5 x \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(5 x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$5 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$5 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$5 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$5 x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$5$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{7 \pi}{30}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{7 \pi}{30}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{7 \pi}{30}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(- 5 x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(- 5 \left(\frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30} - \frac{1}{10}\right) \right)} \leq \frac{1}{2}$$

   /1   pi         \       
sin|- + -- - 2*pi*n| <= 1/2
   \2   6          /       

pero

   /1   pi         \       
sin|- + -- - 2*pi*n| >= 1/2
   \2   6          /       

Entonces
$$x \leq \frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{2 \pi n}{5} - \frac{\pi}{30} \wedge x \leq \frac{2 \pi n}{5} + \frac{7 \pi}{30}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2