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Resolver desigualdades/ sqrt(x+1)+sqrt(x+6)<5

sqrt(x+1)+sqrt(x+6)<5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _______     _______    
\/ x + 1  + \/ x + 6  < 5
x+1+x+6<5\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} < 5 
sqrt(x + 1) + sqrt(x + 6) < 5
Solución detallada
Se da la desigualdad:
x+1+x+6<5\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} < 5
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
x+1+x+6=5\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
x+1+x+6=5\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
(x+1+x+6)2=25\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6}\right)^{2} = 25
o
12(x+6)+(2(x+1)(x+6)+12(x+1))=251^{2} \left(x + 6\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 1\right) \left(x + 6\right)} + 1^{2} \left(x + 1\right)\right) = 25
o
2x+2x2+7x+6+7=252 x + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 6} + 7 = 25
cambiamos:
2x2+7x+6=18−2x2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 6} = 18 - 2 x
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
4x2+28x+24=(18−2x)24 x^{2} + 28 x + 24 = \left(18 - 2 x\right)^{2}
4x2+28x+24=4x2−72x+3244 x^{2} + 28 x + 24 = 4 x^{2} - 72 x + 324
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
100x−300=0100 x - 300 = 0
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
100x=300100 x = 300
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 100
x = 300 / (100)


Como
x2+7x+6=9−x\sqrt{x^{2} + 7 x + 6} = 9 - x
y
x2+7x+6≥0\sqrt{x^{2} + 7 x + 6} \geq 0
entonces
9−x≥09 - x \geq 0
o
x≤9x \leq 9
−∞<x-\infty < x
x1=3x_{1} = 3
comprobamos:
x1=3x_{1} = 3
x1+1+x1+6−5=0\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{1} + 6} - 5 = 0
=
−5+(1+3+3+6)=0-5 + \left(\sqrt{1 + 3} + \sqrt{3 + 6}\right) = 0
=
0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
x1=3x_{1} = 3
x1=3x_{1} = 3
x1=3x_{1} = 3
Las raíces dadas
x1=3x_{1} = 3
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+3- \frac{1}{10} + 3
=
2910\frac{29}{10}
lo sustituimos en la expresión
x+1+x+6<5\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} < 5
1+2910+2910+6<5\sqrt{1 + \frac{29}{10}} + \sqrt{\frac{29}{10} + 6} < 5
  _____     _____    
\/ 390    \/ 890     
------- + ------- < 5
   10        10

significa que la solución de la desigualdad será con:
x<3x < 3
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
02468-6-4-21012010
Respuesta rápida [src] 
And(-1 <= x, x < 3)
−1≤x∧x<3-1 \leq x \wedge x < 3 
(-1 <= x)∧(x < 3)
Respuesta rápida 2 [src] 
[-1, 3)
x in [−1,3)x\ in\ \left[-1, 3\right) 
x in Interval.Ropen(-1, 3)
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