sqrt(x+1)+sqrt(x+6)<5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} < 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} = 5$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6}\right)^{2} = 25$$
o
$$1^{2} \left(x + 6\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 1\right) \left(x + 6\right)} + 1^{2} \left(x + 1\right)\right) = 25$$
o
$$2 x + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 6} + 7 = 25$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 6} = 18 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} + 28 x + 24 = \left(18 - 2 x\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 28 x + 24 = 4 x^{2} - 72 x + 324$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$100 x - 300 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$100 x = 300$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 100

x = 300 / (100)

Como
$$\sqrt{x^{2} + 7 x + 6} = 9 - x$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 7 x + 6} \geq 0$$
entonces
$$9 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 9$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 3$$
comprobamos:
$$x_{1} = 3$$
$$\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{1} + 6} - 5 = 0$$
=
$$-5 + \left(\sqrt{1 + 3} + \sqrt{3 + 6}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} < 5$$
$$\sqrt{1 + \frac{29}{10}} + \sqrt{\frac{29}{10} + 6} < 5$$

  _____     _____    
\/ 390    \/ 890     
------- + ------- < 5
   10        10      
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 3$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1