-3x^2+2x+1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 3 x^{2} + 2 x\right) + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 3 x^{2} + 2 x\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-3) * (1) = 16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 3 x^{2} + 2 x\right) + 1 > 0$$
$$\left(\frac{\left(-13\right) 2}{30} - 3 \left(- \frac{13}{30}\right)^{2}\right) + 1 > 0$$

-43     
---- > 0
100     

Entonces
$$x < - \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{3} \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2