sinx+sin2x+sin3x>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(3 x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(3 x \right)} > 0$$
$$\sin{\left(3 \left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \left(\sin{\left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} + \sin{\left(2 \left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) > 0$$

     /1    pi\                  /1   pi\    
- cos|-- + --| - sin(3/10) + sin|- + --| > 0
     \10   6 /                  \5   3 /    

Entonces
$$x < - \frac{2 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{2 \pi}{3} \wedge x < - \frac{\pi}{2}$$

         _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x3      x1      x4      x5      x6

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \frac{2 \pi}{3} \wedge x < - \frac{\pi}{2}$$
$$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
$$x > \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi$$