(x-4)(x+3)(x-7)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \left(x - 7\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 7 = 0$$
$$x - 4 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 7
2.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 4
3.
$$x + 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -3$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -3
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 4\right) \left(x + 3\right) \left(x - 7\right) \leq 0$$
$$\left(-4 + - \frac{31}{10}\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right) \left(-7 + - \frac{31}{10}\right) \leq 0$$

-7171      
------ <= 0
 1000      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -3$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -3$$
$$x \geq 4 \wedge x \leq 7$$