(3x+1)*(x-2)-(x-1)*(2+x)-(x+2)*(x-2)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(3 x + 1\right) - \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(3 x + 1\right) - \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(3 x + 1\right) - \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - 6 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (4) = 20

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \sqrt{5} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = \sqrt{5} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = \sqrt{5} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = \sqrt{5} + 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(3 - \sqrt{5}\right)$$
=
$$\frac{29}{10} - \sqrt{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) + \left(\left(x - 2\right) \left(3 x + 1\right) - \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)\right) > 0$$
$$\left(\left(-2 + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right)\right) \left(1 + 3 \left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right)\right) - \left(-1 + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right)\right) \left(\left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right) + 2\right)\right) - \left(-2 + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right)\right) \left(\left(\frac{29}{10} - \sqrt{5}\right) + 2\right) > 0$$

/9      ___\ /97       ___\   /9      ___\ /49     ___\   /19     ___\ /49     ___\    
|-- - \/ 5 |*|-- - 3*\/ 5 | - |-- - \/ 5 |*|-- - \/ 5 | - |-- - \/ 5 |*|-- - \/ 5 | > 0
\10        / \10          /   \10        / \10        /   \10        / \10        /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 3 - \sqrt{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 3 - \sqrt{5}$$
$$x > \sqrt{5} + 3$$