Sr Examen

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log(16)*(3x-2)≤1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

log(16)*(3*x - 2) <= 1/2

\left(3 x - 2\right) \log{\left(16 \right)} \leq \frac{1}{2}

(3*x - 2)*log(16) <= 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(3 x - 2\right) \log{\left(16 \right)} \leq \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(3 x - 2\right) \log{\left(16 \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(16)*(3*x-2) = 1/2

Abrimos la expresión:

-8*log(2) + 12*x*log(2) = 1/2

Reducimos, obtenemos:

-1/2 - 8*log(2) + 12*x*log(2) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1/2 - 8*log2 + 12*x*log2 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:

12 x \log{\left(2 \right)} - 8 \log{\left(2 \right)} = \frac{1}{2}

Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-8*log(2) + 12*x*log(2))/x

x = 1/2 / ((-8*log(2) + 12*x*log(2))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (1 + log(65536))/(24*log(2))

x_{1} = \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

x_{1} = \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

lo sustituimos en la expresión

\left(3 x - 2\right) \log{\left(16 \right)} \leq \frac{1}{2}

\left(-2 + 3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) \log{\left(16 \right)} \leq \frac{1}{2}

/  23   1 + log(65536)\               
|- -- + --------------|*log(16) <= 1/2
\  10      8*log(2)   /

significa que la solución de la desigualdad será con:

x \leq \frac{1 + \log{\left(65536 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}}

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

      2       1     
(-oo, - + ---------]
      3   24*log(2)

x\ in\ \left(-\infty, \frac{1}{24 \log{\left(2 \right)}} + \frac{2}{3}\right]

x in Interval(-oo, 1/(24*log(2)) + 2/3)

Respuesta rápida [src]

   /     1 + 16*log(2)         \
And|x <= -------------, -oo < x|
   \       24*log(2)           /

x \leq \frac{1 + 16 \log{\left(2 \right)}}{24 \log{\left(2 \right)}} \wedge -\infty < x

(-oo < x)∧(x <= (1 + 16*log(2))/(24*log(2)))