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Resolver desigualdades/ log(2)^2*x-4*log(2*x)-3>=0

log(2)^2*x-4*log(2*x)-3>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   2                           
log (2)*x - 4*log(2*x) - 3 >= 0
(xlog⁡(2)2−4log⁡(2x))−3≥0\left(x \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 \log{\left(2 x \right)}\right) - 3 \geq 0 
x*log(2)^2 - 4*log(2*x) - 3 >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(xlog⁡(2)2−4log⁡(2x))−3≥0\left(x \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 \log{\left(2 x \right)}\right) - 3 \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(xlog⁡(2)2−4log⁡(2x))−3=0\left(x \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 \log{\left(2 x \right)}\right) - 3 = 0
Resolvemos:
x1=−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
x2=−4W−1(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
x1=−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
x2=−4W−1(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
Las raíces dadas
x1=−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{1} = - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
x2=−4W−1(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x_{2} = - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110−4W(−log⁡(2)28(e1)34)log⁡(2)2- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 \left(e^{1}\right)^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
=
−110−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
lo sustituimos en la expresión
(xlog⁡(2)2−4log⁡(2x))−3≥0\left(x \log{\left(2 \right)}^{2} - 4 \log{\left(2 x \right)}\right) - 3 \geq 0
(−4log⁡(2(−110−4W(−log⁡(2)28(e1)34)log⁡(2)2))+(−110−4W(−log⁡(2)28(e1)34)log⁡(2)2)log⁡(2)2)−3≥0\left(- 4 \log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 \left(e^{1}\right)^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \right)} + \left(- \frac{1}{10} - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 \left(e^{1}\right)^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}\right) - 3 \geq 0
          /         /    2     -3/4 \\           /          /    2     -3/4 \\     
          |         |-log (2)*e     ||           |          |-log (2)*e     ||     
          |      8*W|---------------||           |       4*W|---------------||     
          |  1      \       8       /|      2    |  1       \       8       /| >= 0
-3 - 4*log|- - - --------------------| + log (2)*|- -- - --------------------|     
          |  5            2          |           |  10            2          |     
          \            log (2)       /           \             log (2)       /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x \leq - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤−4W(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x \leq - \frac{4 W\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
x≥−4W−1(−log⁡(2)28e34)log⁡(2)2x \geq - \frac{4 W_{-1}\left(- \frac{\log{\left(2 \right)}^{2}}{8 e^{\frac{3}{4}}}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}
Solución de la desigualdad en el gráfico
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-5050
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