sqrt(22-x)-sqrt(10-x)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{10 - x} + \sqrt{22 - x} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{10 - x} + \sqrt{22 - x} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{10 - x} + \sqrt{22 - x} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{10 - x} + \sqrt{22 - x}\right)^{2} = 4$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(10 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(10 - x\right) \left(22 - x\right)} + 1^{2} \left(22 - x\right)\right) = 4$$
o
$$- 2 x - 2 \sqrt{x^{2} - 32 x + 220} + 32 = 4$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} - 32 x + 220} = 2 x - 28$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 128 x + 880 = \left(2 x - 28\right)^{2}$$
$$4 x^{2} - 128 x + 880 = 4 x^{2} - 112 x + 784$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$96 - 16 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 16 x = -96$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -16

x = -96 / (-16)

Como
$$\sqrt{x^{2} - 32 x + 220} = 14 - x$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 32 x + 220} \geq 0$$
entonces
$$14 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 14$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 6$$
comprobamos:
$$x_{1} = 6$$
$$- \sqrt{10 - x_{1}} + \sqrt{22 - x_{1}} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{10 - 6} + \sqrt{22 - 6}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6$$
=
$$\frac{59}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{10 - x} + \sqrt{22 - x} \geq 2$$
$$- \sqrt{10 - \frac{59}{10}} + \sqrt{22 - \frac{59}{10}} \geq 2$$

    _____     ______     
  \/ 410    \/ 1610      
- ------- + -------- >= 2
     10        10        
     

pero

    _____     ______    
  \/ 410    \/ 1610     
- ------- + -------- < 2
     10        10       
    

Entonces
$$x \leq 6$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 6$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1