4^x+2^x+1-80<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
o
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
o
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -79$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-79) = 317

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
$$-80 + \left(\left(4^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}} + 2^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}}\right) + 1\right) < 0$$

               _____            _____    
         3   \/ 317       3   \/ 317     
       - - - -------    - - - ------- < 0
         5      2         5      2       
-79 + 2              + 4                 

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$