Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-6x+9<0
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x^2-5x+4>0
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x^2-4x+3<0
-
x^2-3x+2<0
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Expresiones idénticas
- cuatro ^x+ dos ^x+ uno - ochenta < cero
- 4 en el grado x más 2 en el grado x más 1 menos 80 menos 0
- cuatro en el grado x más dos en el grado x más uno menos ochenta menos cero
- 4x+2x+1-80<0
-
Expresiones semejantes
- 4^x+2^x+1+80<0
- 4^x+2^x-1-80<0
- 4^x-2^x+1-80<0
4^x+2^x+1-80<0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
x x 4 + 2 + 1 - 80 < 0
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
2^x + 4^x + 1 - 80 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
o
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
o
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -79$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
$$-80 + \left(\left(4^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}} + 2^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}}\right) + 1\right) < 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
o
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
o
$$v^{2} + v - 79 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -79$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (1) * (-79) = 317
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1\right) - 80 < 0$$
$$-80 + \left(\left(4^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}} + 2^{- \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{3}{5}}\right) + 1\right) < 0$$
_____ _____
3 \/ 317 3 \/ 317
- - - ------- - - - ------- < 0
5 2 5 2
-79 + 2 + 4 significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{317}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2}$$
Respuesta rápida 2
[src]
/ _____\
| 1 \/ 317 |
log|- - + -------|
\ 2 2 /
(-oo, ------------------)
log(2)
$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
x in Interval.open(-oo, log(-1/2 + sqrt(317)/2)/log(2))
Respuesta rápida
[src]
/ _____\
| 1 \/ 317 |
log|- - + -------|
\ 2 2 /
x < ------------------
log(2)
$$x < \frac{\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{317}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
x < log(-1/2 + sqrt(317)/2)/log(2)