(2x-1)*(x-3)/(2x-x^2+3)*(4+x^2)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3} \left(x^{2} + 4\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3} \left(x^{2} + 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3} \left(x^{2} + 4\right) = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} + 4\right)}{x + 1} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces

x no es igual a -1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$1 - 2 x = 0$$
$$x^{2} + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$1 - 2 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 2 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2

x = -1 / (-2)

Obtenemos la respuesta: x1 = 1/2
3.
$$x^{2} + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (4) = -16

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2 i$$
$$x_{3} = - 2 i$$
pero

x no es igual a -1

$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 2 i$$
$$x_{3} = - 2 i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3} \left(x^{2} + 4\right) \leq 0$$
$$\frac{\left(-3 + \frac{2}{5}\right) \left(-1 + \frac{2 \cdot 2}{5}\right)}{\left(- \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + \frac{2 \cdot 2}{5}\right) + 3} \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 4\right) \leq 0$$

104     
--- <= 0
175     

pero

104     
--- >= 0
175     

Entonces
$$x \leq \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1