(x-5)*(3x-1)/9-x>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right)}{9} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right)}{9} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right)}{9} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{3} - \frac{25 x}{9} + \frac{5}{9} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{3}$$
$$b = - \frac{25}{9}$$
$$c = \frac{5}{9}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-25/9)^2 - 4 * (1/3) * (5/9) = 565/81

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{565}}{6} + \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{565}}{6} + \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{565}}{6} + \frac{25}{6}$$
$$x_{2} = \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{565}}{6} + \frac{25}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}\right)$$
=
$$\frac{61}{15} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(3 x - 1\right)}{9} > 0$$
$$- (\frac{61}{15} - \frac{\sqrt{565}}{6}) + \frac{\left(-5 + \left(\frac{61}{15} - \frac{\sqrt{565}}{6}\right)\right) \left(-1 + 3 \left(\frac{61}{15} - \frac{\sqrt{565}}{6}\right)\right)}{9} > 0$$

                 /         _____\ /       _____\    
                 |  14   \/ 565 | |56   \/ 565 |    
         _____   |- -- - -------|*|-- - -------|    
  61   \/ 565    \  15      6   / \5       2   / > 0
- -- + ------- + -------------------------------    
  15      6                     9                   
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{25}{6} - \frac{\sqrt{565}}{6}$$
$$x > \frac{\sqrt{565}}{6} + \frac{25}{6}$$