4/x+1+2/1-x<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{4}{x}\right) + 2\right) < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{4}{x}\right) + 2\right) = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{4}{x}\right) + 2\right) = 1$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(- x + \left(\left(1 + \frac{4}{x}\right) + 2\right)\right) = x$$
$$- x^{2} + 3 x + 4 = x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x^{2} + 3 x + 4 = x$$
en
$$- x^{2} + 2 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 2$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-1) * (4) = 20

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(1 - \sqrt{5}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10} - \sqrt{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \left(\left(1 + \frac{4}{x}\right) + 2\right) < 1$$
$$\left(\left(\frac{4}{\frac{9}{10} - \sqrt{5}} + 1\right) + 2\right) - \left(\frac{9}{10} - \sqrt{5}\right) < 1$$

21     ___       4         
-- + \/ 5  + ----------    
10           9      ___ < 1
             -- - \/ 5     
             10            

pero

21     ___       4         
-- + \/ 5  + ----------    
10           9      ___ > 1
             -- - \/ 5     
             10            

Entonces
$$x < 1 - \sqrt{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 - \sqrt{5} \wedge x < 1 + \sqrt{5}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2