x(x-3)/5-x<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \frac{x \left(x - 3\right)}{5} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \frac{x \left(x - 3\right)}{5} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x + \frac{x \left(x - 3\right)}{5} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{5} - \frac{8 x}{5} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{5}$$
$$b = - \frac{8}{5}$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8/5)^2 - 4 * (1/5) * (0) = 64/25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \frac{x \left(x - 3\right)}{5} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{1}{10}\right) \left(-3 + - \frac{1}{10}\right)}{5} - - \frac{1}{10} \leq 0$$

 81     
--- <= 0
500     

pero

 81     
--- >= 0
500     

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 8$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1