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Resolver desigualdades/ 3^(2x)-3^(x+1)>-2

3^(2x)-3^(x+1)>-2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
 2*x    x + 1     
3    - 3      > -2
32x−3x+1>−23^{2 x} - 3^{x + 1} > -2 
3^(2*x) - 3^(x + 1) > -2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
32x−3x+1>−23^{2 x} - 3^{x + 1} > -2
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
32x−3x+1=−23^{2 x} - 3^{x + 1} = -2
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
32x−3x+1=−23^{2 x} - 3^{x + 1} = -2
o
(32x−3x+1)+2=0\left(3^{2 x} - 3^{x + 1}\right) + 2 = 0
Sustituimos
v=3xv = 3^{x}
obtendremos
v2−3v+2=0v^{2} - 3 v + 2 = 0
o
v2−3v+2=0v^{2} - 3 v + 2 = 0
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
v1=D−b2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
v2=−D−b2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=−3b = -3
c=2c = 2
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (2) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
v1=2v_{1} = 2
v2=1v_{2} = 1
hacemos cambio inverso
3x=v3^{x} = v
o
x=log⁡(v)log⁡(3)x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Las raíces dadas
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+1- \frac{1}{10} + 1
=
910\frac{9}{10}
lo sustituimos en la expresión
32x−3x+1>−23^{2 x} - 3^{x + 1} > -2
−3910+1+32⋅910>−2- 3^{\frac{9}{10} + 1} + 3^{\frac{2 \cdot 9}{10}} > -2
     9/10      4/5     
- 3*3     + 3*3    > -2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<1x < 1
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<1x < 1
x>2x > 2
Solución de la desigualdad en el gráfico
501234-9-8-7-6-5-4-3-2-1-5050
Respuesta rápida 2 [src] 
            log(2)     
(-oo, 0) U (------, oo)
            log(3)
x in (−∞,0)∪(log⁡(2)log⁡(3),∞)x\ in\ \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right) 
x in Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(log(2)/log(3), oo))
Respuesta rápida [src] 
  /   /        log(2)    \       \
Or|And|x < oo, ------ < x|, x < 0|
  \   \        log(3)    /       /
(x<∞∧log⁡(2)log⁡(3)<x)∨x<0\left(x < \infty \wedge \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} < x\right) \vee x < 0 
(x < 0)∨((x < oo)∧(log(2)/log(3) < x))
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