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cos(x/3)>=√2/2

cos(x/3)>=√2/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
            ___
   /x\    \/ 2 
cos|-| >= -----
   \3/      2  
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
cos(x/3) >= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{3} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \frac{9 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 3 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \frac{9 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \frac{9 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 \pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$3 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{3 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}}{3} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
                           ___
   /  1    pi       \    \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  30   4        /      2  
                         

pero
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  30   4        /     2  
                        

Entonces
$$x \leq 3 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 3 \pi n + \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq 3 \pi n - \frac{9 \pi}{4}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
  /   /                   /   _____________\\     /                   /   _____________\            \\
  |   |                   |  /         ___ ||     |                   |  /         ___ |            ||
Or\And\0 <= x, x <= 6*atan\\/  3 - 2*\/ 2  //, And\x <= 6*pi, - 6*atan\\/  3 - 2*\/ 2  / + 6*pi <= x//
$$\left(0 \leq x \wedge x \leq 6 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}\right) \vee \left(x \leq 6 \pi \wedge - 6 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)} + 6 \pi \leq x\right)$$
((0 <= x)∧(x <= 6*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))))∨((x <= 6*pi)∧(-6*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2))) + 6*pi <= x))
Respuesta rápida 2 [src]
          /   _____________\             /   _____________\              
          |  /         ___ |             |  /         ___ |              
[0, 6*atan\\/  3 - 2*\/ 2  /] U [- 6*atan\\/  3 - 2*\/ 2  / + 6*pi, 6*pi]
$$x\ in\ \left[0, 6 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[- 6 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \right)} + 6 \pi, 6 \pi\right]$$
x in Union(Interval(0, 6*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2)))), Interval(-6*atan(sqrt(3 - 2*sqrt(2))) + 6*pi, 6*pi))
Gráfico
cos(x/3)>=√2/2 desigualdades