1+2sin(x)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(x \right)} + 1 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Transportemos 1 al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de 1

Obtenemos:
$$2 \sin{\left(x \right)} = -1$$

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(x \right)} + 1 \geq 0$$
$$2 \sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} + 1 \geq 0$$

         /1    pi         \     
1 - 2*sin|-- + -- - 2*pi*n| >= 0
         \10   6          /     

pero

         /1    pi         \    
1 - 2*sin|-- + -- - 2*pi*n| < 0
         \10   6          /    

Entonces
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x \leq 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2