(x+6)(x+1)^4(x-3)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 6\right) \left(x - 3\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 6\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 6\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$x + 6 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$x + 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -6$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -6
3.
$$x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -1
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 6\right) \left(x - 3\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{61}{10} + 1\right)^{4} \left(- \frac{61}{10} + 6\right) \left(- \frac{61}{10} - 3\right) \geq 0$$

615633291     
--------- >= 0
 1000000      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -6$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -6$$
$$x \geq -1 \wedge x \leq 3$$