(x+1)*(x-1)/x+4<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + 4 x - 1}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 4 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + 4 x - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (1) * (-1) = 20

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 2$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = -2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 2$$
$$x_{1} = -2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 2$$
$$x_{1} = -2 + \sqrt{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{5} - 2\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{5} - \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}{x} < 0$$
$$\frac{\left(\left(- \sqrt{5} - \frac{21}{10}\right) - 1\right) \left(\left(- \sqrt{5} - \frac{21}{10}\right) + 1\right)}{- \sqrt{5} - \frac{21}{10}} + 4 < 0$$

    /  31     ___\ /  11     ___\    
    |- -- - \/ 5 |*|- -- - \/ 5 |    
    \  10        / \  10        /    
4 + ----------------------------- < 0
               21     ___            
             - -- - \/ 5             
               10                    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \sqrt{5} - 2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \sqrt{5} - 2$$
$$x > -2 + \sqrt{5}$$