x-5/x+4,2<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - \frac{5}{x}\right) + \frac{21}{5} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - \frac{5}{x}\right) + \frac{21}{5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - \frac{5}{x}\right) + \frac{21}{5} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(\left(x - \frac{5}{x}\right) + \frac{21}{5}\right) = 0 x$$
$$x^{2} + \frac{21 x}{5} - 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = \frac{21}{5}$$
$$c = -5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(21/5)^2 - 4 * (1) * (-5) = 941/25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{21}{10} + \frac{\sqrt{941}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$
$$x_{1} = - \frac{21}{10} + \frac{\sqrt{941}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$
$$x_{1} = - \frac{21}{10} + \frac{\sqrt{941}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$
$$x_{1} = - \frac{21}{10} + \frac{\sqrt{941}}{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{11}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - \frac{5}{x}\right) + \frac{21}{5} < 0$$
$$\left(\left(- \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{11}{5}\right) - \frac{5}{- \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{11}{5}}\right) + \frac{21}{5} < 0$$

                       _____    
          5          \/ 941     
2 - -------------- - -------    
             _____      10   < 0
      11   \/ 941               
    - -- - -------              
      5       10                

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{941}}{10} - \frac{21}{10}$$
$$x > - \frac{21}{10} + \frac{\sqrt{941}}{10}$$