(x^2(3-x))/(x^2-8x+16)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 16} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 16} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 16} = 0$$
denominador
$$x^{2} - 8 x + 16$$
entonces

x no es igual a 4

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x = 0$$
$$3 - x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x = 0$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 0
2.
$$3 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -3 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x2 = 3
pero

x no es igual a 4

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x^{2} \left(3 - x\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 16} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{1}{10}\right)^{2} \left(3 - - \frac{1}{10}\right)}{\left(\left(- \frac{1}{10}\right)^{2} - \frac{\left(-1\right) 8}{10}\right) + 16} \leq 0$$

  31      
----- <= 0
16810     

pero

  31      
----- >= 0
16810     

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 3$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2