(3x^2-5x-2)(2x^2+x+1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(2 x^{2} + x\right) + 1\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2 x^{2} + x\right) + 1\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(2 x^{2} + x\right) + 1\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x^{2} + x + 1 = 0$$
$$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x^{2} + x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (1) = -7

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
2.
$$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -5$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (3) * (-2) = 49

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(2 x^{2} + x\right) + 1\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) < 0$$
$$\left(-2 + \left(3 \left(- \frac{13}{30}\right)^{2} - \frac{\left(-13\right) 5}{30}\right)\right) \left(\left(- \frac{13}{30} + 2 \left(- \frac{13}{30}\right)^{2}\right) + 1\right) < 0$$

3869    
---- < 0
5625    

pero

3869    
---- > 0
5625    

Entonces
$$x < - \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{3} \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1