(x-1)(x+2)/2x-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{2} - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{2} - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{2} - 1 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 2\right)}{2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
$$x^{2} - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{x}{2} = - \frac{1}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/2

x = -1/2 / (1/2)

Obtenemos la respuesta: x1 = -1
2.
$$x^{2} - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}{2} - 1 < 0$$
$$-1 + \frac{\left(\left(- \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right) - 1\right) \left(\left(- \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right) + 2\right)}{2} \left(- \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right) < 0$$

     /  11     ___\ /  1      ___\ /19     ___\    
     |- -- - \/ 2 |*|- -- - \/ 2 |*|-- - \/ 2 |    
     \  10        / \  10        / \10        / < 0
-1 + ------------------------------------------    
                         2                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \sqrt{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \sqrt{2}$$
$$x > -1 \wedge x < \sqrt{2}$$