|x-6|/2x-|x+3|<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \frac{\left|{x - 6}\right|}{2} - \left|{x + 3}\right| \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \frac{\left|{x - 6}\right|}{2} - \left|{x + 3}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 3 \geq 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
o
$$6 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{x \left(x - 6\right)}{2} - \left(x + 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{x \left(x - 6\right)}{2} - x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 4 - 2 \sqrt{6}$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 4 + 2 \sqrt{6}$$

2.
$$x + 3 \geq 0$$
$$x - 6 < 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < 6$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{x \left(6 - x\right)}{2} - \left(x + 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{x \left(6 - x\right)}{2} - x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2 - 2 i$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = 2 + 2 i$$
pero x4 no satisface a la desigualdad

3.
$$x + 3 < 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 3 < 0$$
$$x - 6 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{x \left(6 - x\right)}{2} - \left(- x - 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{x \left(6 - x\right)}{2} + x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{5} = 4 - 2 \sqrt{5}$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = 4 + 2 \sqrt{5}$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 4 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 4 + 2 \sqrt{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 + 2 \sqrt{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(4 + 2 \sqrt{6}\right)$$
=
$$\frac{39}{10} + 2 \sqrt{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \frac{\left|{x - 6}\right|}{2} - \left|{x + 3}\right| \leq 1$$
$$- \left|{3 + \left(\frac{39}{10} + 2 \sqrt{6}\right)}\right| + \frac{\left|{-6 + \left(\frac{39}{10} + 2 \sqrt{6}\right)}\right|}{2} \left(\frac{39}{10} + 2 \sqrt{6}\right) \leq 1$$

  69       ___   /  21     ___\ /39       ___\     
- -- - 2*\/ 6  + |- -- + \/ 6 |*|-- + 2*\/ 6 | <= 1
  10             \  20        / \10          /     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 4 + 2 \sqrt{6}$$

 _____          
      \    
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       x1