3cos(2x)+2cos(x)>=5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} \geq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 5$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} = 5$$
cambiamos
$$- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$6 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} - 6 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 6$$
$$b = 2$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (6) * (-6) = 148

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{37}}{6} - \frac{1}{6}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{37}}{6} - \frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{37}}{6} - \frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{37}}{6} - \frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{37}}{6} - \frac{1}{6} \right)}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi + i \log{\left(\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi + i \log{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{4}{3} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)} \geq 5$$
$$2 \cos{\left(- \frac{1}{10} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{\left(-1\right) 2}{10} \right)} \geq 5$$

2*cos(1/10) + 3*cos(1/5) >= 5

pero

2*cos(1/10) + 3*cos(1/5) < 5

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 0$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1