(3x^2-12)/(x-4)(x+6)<_0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3 x^{2} - 12}{x - 4} \left(x + 6\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3 x^{2} - 12}{x - 4} \left(x + 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{3 x^{2} - 12}{x - 4} \left(x + 6\right) = 0$$
denominador
$$x - 4$$
entonces

x no es igual a 4

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 6 = 0$$
$$3 x^{2} - 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -6$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -6
3.
$$3 x^{2} - 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = -12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (3) * (-12) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
pero

x no es igual a 4

$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -6$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3 x^{2} - 12}{x - 4} \left(x + 6\right) \leq 0$$
$$\frac{-12 + 3 \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}}{- \frac{61}{10} - 4} \left(- \frac{61}{10} + 6\right) \leq 0$$

 9963     
----- <= 0
10100     

pero

 9963     
----- >= 0
10100     

Entonces
$$x \leq -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -6 \wedge x \leq -2$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -6 \wedge x \leq -2$$
$$x \geq 2$$