Sr Examen
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- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
- x^2+64>=0
-
(x+3)*(x-0,5)<0
-
5(x+2)-2(3x-1)>4x
-
17+12x<9x-4
-
Expresiones idénticas
- -sin(x)^ dos +cos(x)^ dos >(- uno)/sqrt(dos)
- menos seno de (x) al cuadrado más coseno de (x) al cuadrado más ( menos 1) dividir por raíz cuadrada de (2)
- menos seno de (x) en el grado dos más coseno de (x) en el grado dos más ( menos uno) dividir por raíz cuadrada de (dos)
- -sin(x)^2+cos(x)^2>(-1)/√(2)
- -sin(x)2+cos(x)2>(-1)/sqrt(2)
- -sinx2+cosx2>-1/sqrt2
- -sin(x)²+cos(x)²>(-1)/sqrt(2)
- -sin(x) en el grado 2+cos(x) en el grado 2>(-1)/sqrt(2)
- -sinx^2+cosx^2>-1/sqrt2
- -sin(x)^2+cos(x)^2>(-1) dividir por sqrt(2)
-
Expresiones semejantes
- -sin(x)^2+cos(x)^2>(1)/sqrt(2)
- sin(x)^2+cos(x)^2>(-1)/sqrt(2)
- -sin(x)^2-cos(x)^2>(-1)/sqrt(2)
- -sinx^2+cosx^2>(-1)/sqrt(2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)<1/2^(1/2)
- sin(x-pi/6)>0
- sin(x)>a
- sin(x)<-3/4
- sin(x)>=-4
- Coseno cos
- cos(x+pi/3)>1
- cos(nx)>=x^2-4x+5
- cos(3*x)>=1
- cos(npi)/(n^(3)+1)^(2)<=0.001
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x-2)>-2
- sqrt(6x-8)>x
- sqrt(5x-x^2)<x-2
- sqrt(x^2-12x+20)<x+2
- sqrt(4-x)*(x^2+2*x-3)<=0
-sin(x)^2+cos(x)^2>(-1)/sqrt(2) desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -1
- sin (x) + cos (x) > -----
___
\/ 2
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
-sin(x)^2 + cos(x)^2 > -1/sqrt(2)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
cambiamos
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$- \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \cos^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x > 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
cambiamos
$$\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-2) * (1 + sqrt(2)/2) = 8 + 4*sqrt(2)
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{2} + 8}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$- \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \cos^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
/ / ______________________________\\ / / ______________________________\\
| | / ___________ || | | / ___________ ||
| | / ___ / ___ || | | / ___ / ___ || ___
2|1 |\/ 6 - \/ 2 + 4*\/ 2 - \/ 2 || 2|1 |\/ 6 - \/ 2 + 4*\/ 2 - \/ 2 || -\/ 2
cos |-- + 2*atan|----------------------------------|| - sin |-- + 2*atan|----------------------------------|| > -------
|10 | ___________ || |10 | ___________ || 2
| | / ___ || | | / ___ ||
\ \ \/ 2 + \/ 2 // \ \ \/ 2 + \/ 2 //
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
_____ _____ _____
\ / \ /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x1 x3 x4 x2Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
$$x > 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 6}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / ___________\\ / / ___________\ \\ | | | / ___ || | | / ___ | || | | |\/ 2 + \/ 2 || | |\/ 2 + \/ 2 | || Or|And|0 <= x, x < atan|--------------||, And|x <= pi, pi - atan|--------------| < x|| | | | ___________|| | | ___________| || | | | / ___ || | | / ___ | || \ \ \\/ 2 - \/ 2 // \ \\/ 2 - \/ 2 / //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < atan(sqrt(2 + sqrt(2))/sqrt(2 - sqrt(2)))))∨((x <= pi)∧(pi - atan(sqrt(2 + sqrt(2))/sqrt(2 - sqrt(2))) < x))
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___________\ / ___________\
| / ___ | | / ___ |
|\/ 2 + \/ 2 | |\/ 2 + \/ 2 |
[0, atan|--------------|) U (pi - atan|--------------|, pi]
| ___________| | ___________|
| / ___ | | / ___ |
\\/ 2 - \/ 2 / \\/ 2 - \/ 2 /
$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)}\right) \cup \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)}, \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(sqrt(sqrt(2) + 2)/sqrt(2 - sqrt(2)))), Interval.Lopen(pi - atan(sqrt(sqrt(2) + 2)/sqrt(2 - sqrt(2))), pi))