|2-x|-|6+2x|<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 - x}\right| - \left|{2 x + 6}\right| < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 - x}\right| - \left|{2 x + 6}\right| = 3$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x + 6 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) - \left(2 x + 6\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -11$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x + 6 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x + 6 \geq 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) - \left(2 x + 6\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{7}{3}$$

4.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x + 6 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) - \left(- 2 x - 6\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -5$$


$$x_{1} = - \frac{7}{3}$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = - \frac{7}{3}$$
$$x_{2} = -5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = - \frac{7}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 - x}\right| - \left|{2 x + 6}\right| < 3$$
$$- \left|{\frac{\left(-51\right) 2}{10} + 6}\right| + \left|{2 - - \frac{51}{10}}\right| < 3$$

29    
-- < 3
10    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -5$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -5$$
$$x > - \frac{7}{3}$$