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3sin^2x-2sinx-1>=0

3sin^2x-2sinx-1>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
     2                       
3*sin (x) - 2*sin(x) - 1 >= 0
(3sin2(x)2sin(x))10\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \geq 0
3*sin(x)^2 - 2*sin(x) - 1 >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(3sin2(x)2sin(x))10\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(3sin2(x)2sin(x))1=0\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
(3sin2(x)2sin(x))1=0\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
cambiamos
3sin2(x)2sin(x)1=03 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} - 1 = 0
(3sin2(x)2sin(x))1=0\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
Sustituimos
w=sin(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=Db2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=Db2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=3a = 3
b=2b = -2
c=1c = -1
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (3) * (-1) = 16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=1w_{1} = 1
w2=13w_{2} = - \frac{1}{3}
hacemos cambio inverso
sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin(1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}
x1=2πn+π2x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=2πn+asin(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin(13)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)}
x2=2πnasin(13)x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
x3=2πnasin(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πnasin(1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi
x3=2πn+π2x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}
x4=2πnasin(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πnasin(13)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)} + \pi
x4=2πn+asin(13)+πx_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=asin(13)+πx_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi
x3=asin(13)x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=asin(13)+πx_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi
x3=asin(13)x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Las raíces dadas
x3=asin(13)x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=asin(13)+πx_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0x3x_{0} \leq x_{3}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x3110x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}
=
asin(13)110- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}
=
asin(13)110- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
(3sin2(x)2sin(x))10\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \geq 0
1+(3sin2(asin(13)110)2sin(asin(13)110))0-1 + \left(3 \sin^{2}{\left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} - 2 \sin{\left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) \geq 0
                                    2                       
-1 + 2*sin(1/10 + asin(1/3)) + 3*sin (1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
xasin(13)x \leq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
xasin(13)x \leq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
xπ2xasin(13)+πx \geq \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050605-5
Respuesta rápida 2 [src]
                 /  ___\        /  ___\        
 pi              |\/ 2 |        |\/ 2 |        
{--} U [pi + atan|-----|, - atan|-----| + 2*pi]
 2               \  4  /        \  4  /        
x in {π2}[atan(24)+π,atan(24)+2π]x\ in\ \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi\right]
x in Union(FiniteSet(pi/2), Interval(atan(sqrt(2)/4) + pi, -atan(sqrt(2)/4) + 2*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /           /  ___\                  /  ___\     \        \
  |   |           |\/ 2 |                  |\/ 2 |     |      pi|
Or|And|x <= - atan|-----| + 2*pi, pi + atan|-----| <= x|, x = --|
  \   \           \  4  /                  \  4  /     /      2 /
(xatan(24)+2πatan(24)+πx)x=π2\left(x \leq - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi \leq x\right) \vee x = \frac{\pi}{2}
(x = pi/2))∨((pi + atan(sqrt(2)/4) <= x)∧(x <= -atan(sqrt(2)/4) + 2*pi)
Gráfico
3sin^2x-2sinx-1>=0 desigualdades