Se da la desigualdad: (3sin2(x)−2sin(x))−1≥0 Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente: (3sin2(x)−2sin(x))−1=0 Resolvemos: Tenemos la ecuación (3sin2(x)−2sin(x))−1=0 cambiamos 3sin2(x)−2sin(x)−1=0 (3sin2(x)−2sin(x))−1=0 Sustituimos w=sin(x) Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta con la ayuda del discriminante. Las raíces de la ecuación cuadrática: w1=2aD−b w2=2a−D−b donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante. Como a=3 b=−2 c=−1 , entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-2)^2 - 4 * (3) * (-1) = 16
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o w1=1 w2=−31 hacemos cambio inverso sin(x)=w Tenemos la ecuación sin(x)=w es la ecuación trigonométrica más simple Esta ecuación se reorganiza en x=2πn+asin(w) x=2πn−asin(w)+π O x=2πn+asin(w) x=2πn−asin(w)+π , donde n es cualquier número entero sustituimos w: x1=2πn+asin(w1) x1=2πn+asin(1) x1=2πn+2π x2=2πn+asin(w2) x2=2πn+asin(−31) x2=2πn−asin(31) x3=2πn−asin(w1)+π x3=2πn−asin(1)+π x3=2πn+2π x4=2πn−asin(w2)+π x4=2πn−asin(−31)+π x4=2πn+asin(31)+π x1=2π x2=asin(31)+π x3=−asin(31) x1=2π x2=asin(31)+π x3=−asin(31) Las raíces dadas x3=−asin(31) x1=2π x2=asin(31)+π son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones. Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo: x0≤x3 Consideremos, por ejemplo, el punto x0=x3−101 = −asin(31)−101 = −asin(31)−101 lo sustituimos en la expresión (3sin2(x)−2sin(x))−1≥0 −1+(3sin2(−asin(31)−101)−2sin(−asin(31)−101))≥0