log(7)(x-1)+log(7)(x-7)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 7\right) \log{\left(7 \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(7 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 7\right) \log{\left(7 \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(7 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(7)*(x-1)+log(7)*(x-7) = 1

Abrimos la expresión:

- log(7) + x*log(7) + log(7)*(x - 7) = 1

- log(7) + x*log(7) + - 7*log(7) + x*log(7) = 1

Reducimos, obtenemos:

-1 - 8*log(7) + 2*x*log(7) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 - 8*log7 + 2*x*log7 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x \log{\left(7 \right)} - 8 \log{\left(7 \right)} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-8*log(7) + 2*x*log(7))/x

x = 1 / ((-8*log(7) + 2*x*log(7))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (1 + log(5764801))/(2*log(7))
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 7\right) \log{\left(7 \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(7 \right)} < 1$$
$$\left(-7 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}\right)\right) \log{\left(7 \right)} + \left(-1 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}\right)\right) \log{\left(7 \right)} < 1$$

/  71   1 + log(5764801)\          /  11   1 + log(5764801)\           
|- -- + ----------------|*log(7) + |- -- + ----------------|*log(7) < 1
\  10       2*log(7)    /          \  10       2*log(7)    /           

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1 + \log{\left(5764801 \right)}}{2 \log{\left(7 \right)}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1