x^2(x-3)/x-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-1 + \frac{x^{2} \left(x - 3\right)}{x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-1 + \frac{x^{2} \left(x - 3\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$-1 + \frac{x^{2} \left(x - 3\right)}{x} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - 3 x - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-1) = 13

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-1 + \frac{x^{2} \left(x - 3\right)}{x} < 0$$
$$-1 + \frac{\left(-3 + \left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right)\right) \left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{2}}{\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}} < 0$$

     /        ____\ /      ____\    
     |  8   \/ 13 | |7   \/ 13 |    
-1 + |- - - ------|*|- - ------| < 0
     \  5     2   / \5     2   /    
    

pero

     /        ____\ /      ____\    
     |  8   \/ 13 | |7   \/ 13 |    
-1 + |- - - ------|*|- - ------| > 0
     \  5     2   / \5     2   /    
    

Entonces
$$x < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} \wedge x < \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1