sinx+√3cosx>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} > 0$$
$$\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \sqrt{3 \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)}} > 0$$

                                                         __________________________________________    
     /           /         _____________\\              /    /           /         _____________\\     
     |           |  ___   /        ____ ||             /     |           |  ___   /        ____ ||     
     |1          |\/ 3 *\/  -2 + \/ 13  ||     ___    /      |1          |\/ 3 *\/  -2 + \/ 13  ||  > 0
- sin|-- + 2*atan|----------------------|| + \/ 3 *  /    cos|-- + 2*atan|----------------------||     
     \10         \          3           //         \/        \10         \          3           //     
    

Entonces
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{-2 + \sqrt{13}}}{3} \right)}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1