sinx/2<-1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} < - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(x \right)} = -1$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} < - \frac{1}{2}$$
$$\frac{\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)}}{2} < - \frac{1}{2}$$

-cos(-1/10 + 2*pi*n)        
--------------------- < -1/2
          2                 

pero

-cos(-1/10 + 2*pi*n)        
--------------------- > -1/2
          2                 

Entonces
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{2} \wedge x < 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2