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sin(x/2)>=1/2

sin(x/2)>=1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /x\       
sin|-| >= 1/2
   \2/       
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
sin(x/2) >= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}}{2} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
   /  1    pi         \       
sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= 1/2
   \  20   6          /       

pero
   /  1    pi         \      
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 1/2
   \  20   6          /      

Entonces
$$x \leq 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 4 \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x \leq 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
 pi  5*pi 
[--, ----]
 3    3   
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
x in Interval(pi/3, 5*pi/3)
Respuesta rápida [src]
   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \3              3  /
$$\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{3}$$
(pi/3 <= x)∧(x <= 5*pi/3)
Gráfico
sin(x/2)>=1/2 desigualdades